Si vous avez 3 allumettes, comment pouvez-vous former 4 triangles équilatéraux ?

Cette énigme repose sur une contrainte géométrique précise : quatre triangles équilatéraux ne peuvent pas être obtenus avec seulement trois allumettes. La solution souvent associée à ce type de problème fait intervenir un objet en volume, mais elle exige davantage de segments que l’énoncé n’en fournit. La figure recherchée est une pyramide à base triangulaire, aussi appelée tétraèdre régulier, dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

Le nombre d’arêtes nécessaire

Un tétraèdre possède quatre sommets et six arêtes. Trois d’entre elles forment le triangle de la base ; les trois autres relient chacun des sommets de cette base au sommet supérieur. Ces six arêtes sont indispensables pour délimiter les quatre faces triangulaires. Chaque allumette doit donc être utilisée comme une arête du solide : trois allumettes ne peuvent pas suffire à construire cette structure fermée. L’affirmation selon laquelle trois allumettes permettraient de former un tétraèdre confond le nombre de faces avec le nombre d’arêtes nécessaires.

Pourquoi la perspective ne résout pas tout

Le recours à la géométrie dans l’espace permet bien de dépasser les limites d’une construction plane, mais il ne supprime pas les contraintes matérielles. Avec trois allumettes, on peut former un seul triangle équilatéral si elles ont la longueur appropriée et sont assemblées bout à bout. En revanche, pour obtenir quatre faces triangulaires qui se rencontrent dans l’espace, il faut disposer de six côtés distincts. La troisième dimension offre donc une autre organisation des allumettes, pas une manière de multiplier les segments disponibles.

La réponse correcte à l’énigme

Il est ainsi impossible de former quatre triangles équilatéraux avec seulement trois allumettes. Il en faut six pour construire une pyramide à base triangulaire : trois pour la base et trois pour relier cette base au sommet. Cette pyramide possède alors exactement quatre faces, toutes triangulaires et équilatérales. La difficulté de l’énigme vient de l’idée séduisante d’une solution en volume, mais cette idée ne devient réalisable qu’à condition de respecter le nombre réel d’arêtes du solide.