Qui est le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan, célèbre pour ses formules mystérieuses ?

Srinivasa Ramanujan est l’une des figures les plus singulières des mathématiques du XXe siècle. Né en 1887 à Erode, dans la présidence de Madras, et élevé notamment à Kumbakonam, en Inde du Sud, il développe très tôt une passion exceptionnelle pour les nombres. Autodidacte, il construit une grande partie de son savoir en dehors des institutions universitaires, avant d’être reconnu au Royaume-Uni grâce à une rencontre décisive avec le mathématicien Godfrey Harold Hardy. Ses cahiers contiennent des milliers de formules et de résultats, souvent présentés sans démonstration détaillée, dans des domaines comme la théorie des nombres, les séries infinies et l’analyse.

Une formation mathématique autodidacte

Ramanujan ne suit pas le parcours universitaire habituel. Il s’intéresse presque exclusivement aux mathématiques, au point de négliger les autres matières nécessaires à l’obtention de diplômes. Son principal guide est l’ouvrage A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics, de George Shoobridge Carr. Ce livre rassemble de nombreux énoncés et résultats de mathématiques, parfois de manière très concise, avec peu de démonstrations. Ramanujan y trouve une base de travail, mais il va rapidement bien au-delà de ce qu’il y apprend. Dans ses propres cahiers, il note des identités, des développements en séries, des propriétés de nombres et des relations entre fonctions. Son approche est fondée sur une intuition extraordinairement productive : il devine des résultats qui demandent ensuite à être vérifiés ou démontrés avec les outils rigoureux des mathématiques modernes.

La rencontre avec Hardy

En 1913, Ramanujan adresse une lettre à Godfrey Harold Hardy, alors mathématicien à l’université de Cambridge, en lui présentant une longue série de résultats. Hardy comprend rapidement qu’il ne s’agit pas d’un travail ordinaire ni d’une supercherie. Il invite Ramanujan à venir en Angleterre, où celui-ci arrive en 1914. Leur collaboration devient l’un des épisodes marquants de l’histoire des mathématiques. Avec Hardy, Ramanujan approfondit notamment l’étude des partitions d’un nombre, c’est-à-dire la manière de l’écrire comme une somme d’entiers, ainsi que les séries, les fonctions modulaires et d’autres questions de théorie des nombres. Cette collaboration permet de confronter l’intuition de Ramanujan aux exigences de la démonstration et donne naissance à des résultats qui restent importants bien après sa mort.

Des formules dans de nombreux domaines

Les travaux de Ramanujan ne se limitent pas à une collection de curiosités numériques. Il obtient des résultats remarquables sur les partitions, les fractions continues, les séries infinies et certaines fonctions liées à l’analyse. Il produit également des formules permettant de calculer π à l’aide de séries très rapidement convergentes. Dans les dernières années de sa vie, il étudie des objets appelés fonctions thêta simulées, dont l’importance n’a été pleinement comprise que progressivement. Une grande partie de son œuvre est difficile à interpréter parce que ses cahiers donnent souvent directement le résultat, sans exposer le raisonnement qui y conduit. Des mathématiciens ont donc consacré et consacrent encore de nombreux travaux à établir les démonstrations et à déterminer la portée exacte de ces formules.

Le cas célèbre du nombre 1729

L’anecdote de 1729 illustre la familiarité exceptionnelle de Ramanujan avec les propriétés des nombres. Alors que Hardy lui rend visite pendant une période où il est malade, il remarque que le numéro du taxi dans lequel il est arrivé lui paraît sans intérêt. Ramanujan lui répond que 1729 est au contraire un nombre remarquable : c’est le plus petit entier qui peut s’écrire de deux façons différentes comme somme de deux cubes positifs. On a en effet 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³. Ce nombre est souvent appelé nombre de Hardy-Ramanujan et constitue le deuxième nombre taxicab, noté Taxicab(2). L’épisode est devenu célèbre, mais il ne résume pas l’œuvre du mathématicien, qui s’étend à des pans beaucoup plus vastes de la théorie des nombres et de l’analyse.

Une œuvre poursuivie après sa mort

La santé de Ramanujan se dégrade au cours de ses années en Angleterre et après son retour en Inde en 1919. Il meurt en 1920, à l’âge de trente-deux ans, en laissant une œuvre considérable malgré sa courte vie. Ses cahiers ont continué à être étudiés, et un ensemble de notes retrouvé plusieurs décennies après sa disparition, connu sous le nom de « Cahier perdu », a livré de nouveaux résultats à analyser. Ramanujan demeure ainsi une figure exceptionnelle à la fois par l’ampleur de ses découvertes, par son parcours autodidacte et par la manière très personnelle dont il explorait les structures cachées des nombres.