Quelle est la valeur du nombre d'or, souvent noté φ (phi) ?

Le nombre d’or, généralement noté φ, est un nombre irrationnel dont la valeur approchée est 1,6180339887. Il ne s’agit pas d’une mesure particulière, mais d’un rapport entre deux longueurs. Sa définition repose sur une proportion dans laquelle le rapport de la somme des deux longueurs à la plus grande est égal au rapport de la plus grande à la plus petite. Cette relation simple relie ainsi une quantité entière à ses deux parties et explique pourquoi le nombre d’or intervient dans de nombreux problèmes de géométrie et d’algèbre.

La définition de la section dorée

Considérons deux longueurs positives, l’une plus grande que l’autre. Si la grande longueur vaut a et la petite b, avec a supérieur à b, la proportion dorée s’écrit (a + b) / a = a / b. La valeur commune de ces deux rapports est φ. En posant x = a / b, on obtient x = 1 + 1 / x, puis l’équation x² − x − 1 = 0. Cette équation possède deux solutions, mais une seule est positive : φ = (1 + √5) / 2. Son développement décimal commence par 1,6180339887 et se poursuit sans fin, car φ est irrationnel et ne peut donc pas être écrit exactement comme le quotient de deux entiers.

Une relation avec la suite de Fibonacci

Le nombre d’or est également lié à la suite de Fibonacci, dans laquelle chaque terme, à partir du troisième, est obtenu en additionnant les deux précédents : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc. Lorsque l’on divise un terme par celui qui le précède, les rapports obtenus se rapprochent progressivement de φ. Ainsi, 8 / 5 vaut 1,6, 13 / 8 vaut 1,625 et les rapports deviennent de plus en plus proches de 1,6180339887 lorsque les termes augmentent. Cette propriété constitue une conséquence mathématique de la récurrence de Fibonacci ; elle ne signifie pas que chaque nombre de la suite soit égal au nombre d’or.

Une notion connue depuis l’Antiquité

Une formulation géométrique de cette proportion apparaît dans les Éléments d’Euclide, ouvrage rédigé dans l’Antiquité. Euclide décrit une division d’un segment en deux parties selon une relation où le rapport du segment entier à la plus grande partie est égal à celui de la plus grande partie à la plus petite. Cette construction est aujourd’hui appelée section dorée ou division en extrême et moyenne raison. Elle fournit une manière géométrique de définir le rapport φ, indépendamment de son écriture algébrique. En revanche, l’affirmation selon laquelle des monuments antiques auraient systématiquement été conçus selon ce nombre doit être examinée avec prudence : les mesures et les intentions des constructeurs ne permettent pas toujours de l’établir.

Des rapprochements avec l’art et la nature

Le nombre d’or est souvent associé à l’art et à l’architecture, où il sert de référence pour analyser certaines compositions ou certaines proportions. Ces analyses ne prouvent toutefois pas nécessairement que les artistes ou les architectes avaient consciemment utilisé φ. Dans la nature, des dispositions de feuilles ou de graines peuvent présenter des rapports liés à la phyllotaxie et à l’angle d’or, proche de 137,5 degrés, lui-même associé au nombre d’or. Cela ne transforme pas φ en règle universelle : les formes naturelles sont diverses, et les spirales d’une coquille ou d’une plante ne suivent pas automatiquement une proportion dorée. Le nombre d’or reste donc à la fois une propriété algébrique précise et un outil d’analyse dont les applications doivent être distinguées des interprétations approximatives.