Quelle est la somme des angles intérieurs d'un quadrilatère ?

Dans le plan euclidien, un quadrilatère simple est une figure fermée composée de quatre côtés qui ne se croisent pas, sauf éventuellement à leurs extrémités communes. Quelle que soit sa forme, la somme de ses quatre angles intérieurs est égale à 360 degrés. Cette propriété vaut aussi bien pour un quadrilatère convexe, dont tous les angles pointent vers l’intérieur de la figure, que pour un quadrilatère concave, qui possède un angle rentrant supérieur à 180 degrés.

Une démonstration par découpage

Pour démontrer cette propriété, il suffit de tracer une diagonale reliant deux sommets non adjacents. Dans un quadrilatère simple, on peut choisir une diagonale qui partage la figure en deux triangles. Or, dans la géométrie plane euclidienne, la somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180 degrés. Les deux triangles obtenus ont donc ensemble une somme de 180 + 180, soit 360 degrés. Les angles des triangles correspondent aux quatre angles du quadrilatère, même si, dans certains cas, un angle est réparti entre les deux triangles. La somme des angles intérieurs du quadrilatère est ainsi bien de 360 degrés.

Le cas des quadrilatères concaves

La forme concave ne modifie donc pas le résultat. Dans un tel quadrilatère, l’un des angles intérieurs est supérieur à 180 degrés, contrairement aux angles d’un quadrilatère convexe. Les autres angles compensent cette valeur plus grande, de sorte que le total reste égal à 360 degrés. Pour effectuer le découpage, il faut choisir la diagonale adaptée : dans un quadrilatère concave, une des diagonales relie les sommets de manière à rester dans la figure et à former deux triangles. Le raisonnement géométrique demeure alors identique.

Une propriété particulière aux quadrilatères simples

Il est important de préciser que cette règle concerne les quadrilatères simples, c’est-à-dire les quadrilatères dont les côtés ne se recoupent pas. Un quadrilatère croisé, parfois appelé quadrilatère en papillon, possède des côtés qui se coupent en un point situé ailleurs que sur les sommets. Dans cette configuration, la notion d’angles intérieurs n’est pas définie de la même manière, puisqu’il n’existe pas une région intérieure unique comparable à celle d’un quadrilatère simple. On ne peut donc pas lui appliquer directement la règle des 360 degrés sans adopter une convention particulière sur les angles considérés.

Le lien avec la formule générale des polygones

La somme de 360 degrés s’inscrit dans une règle plus générale : pour un polygone simple à n côtés, la somme des angles intérieurs est égale à (n − 2) × 180 degrés. Un quadrilatère possède quatre côtés ; en remplaçant n par 4, on obtient (4 − 2) × 180 = 360 degrés. Le découpage en deux triangles constitue précisément l’interprétation géométrique de cette formule. Le résultat repose toutefois sur le cadre de la géométrie plane euclidienne et sur le caractère simple du quadrilatère.