Quelle est la formule pour calculer le volume d'une sphère ?

Le volume d’une sphère se calcule à partir de son rayon, c’est-à-dire de la distance entre son centre et n’importe quel point de sa surface. La formule est V = (4/3) × π × r³. Dans cette expression, V désigne le volume, r le rayon et π le nombre Pi, dont une valeur approchée est 3,14159. Le résultat s’exprime toujours en unités cubes : cm³, m³ ou toute autre unité adaptée à la mesure du rayon.

Appliquer la formule

Pour effectuer le calcul, il faut d’abord connaître le rayon et non le diamètre. Si le diamètre est fourni, on le divise par deux pour obtenir r. On élève ensuite le rayon au cube, puis on multiplie par π et par 4/3. Par exemple, pour une sphère de rayon 2 unités, on obtient V = (4/3) × π × 2³, soit V = (32/3)π unités cubes. Avec π ≈ 3,14159, le volume est d’environ 33,51 unités cubes. Il est important de conserver les unités au cube : un rayon mesuré en mètres donne un volume en mètres cubes.

Pourquoi le rayon est-il au cube ?

Le terme r³ traduit le fait qu’un volume mesure une étendue dans trois dimensions. Si toutes les longueurs d’un objet sont multipliées par un même facteur, son volume est multiplié par le cube de ce facteur. Ainsi, une sphère deux fois plus grande en rayon possède un volume huit fois supérieur. La formule peut aussi être retrouvée en considérant la sphère comme un empilement de sections circulaires : l’aire de chaque section dépend de π et de son rayon, et l’addition continue de ces aires conduit au facteur (4/3)πr³. La présence de π est donc liée à la géométrie circulaire des sections de la sphère.

Une relation étudiée dès l’Antiquité

La relation entre le volume d’une sphère et celui d’un cylindre a été étudiée par Archimède dans l’Antiquité. Il a montré que le volume d’une sphère de rayon r correspond aux deux tiers du volume d’un cylindre ayant le même rayon et une hauteur égale au diamètre de la sphère, soit 2r. Le volume de ce cylindre vaut πr² × 2r = 2πr³ ; ses deux tiers donnent bien (4/3)πr³. Aujourd’hui, cette formule est utilisée chaque fois qu’un objet peut être considéré comme sphérique ou approximé par une sphère, par exemple pour estimer le volume d’un astre, d’une bille ou d’un réservoir sphérique, puis éventuellement sa masse ou sa densité si l’on connaît sa matière.