Quelle est la différence entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel ?

Les nombres rationnels et irrationnels appartiennent tous deux à l’ensemble des nombres réels, mais ils se distinguent par la possibilité ou non de les écrire sous forme de fraction. Cette différence, simple à énoncer, permet notamment de comprendre pourquoi certains nombres ont une écriture décimale finie ou répétitive, tandis que d’autres possèdent une suite infinie de chiffres sans période.

La définition des nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a/b, où a et b sont des entiers et où b est différent de zéro. La fraction n’a pas besoin d’être irréductible : 2/4, 1/2 et 0,5 désignent le même nombre rationnel. Cette catégorie comprend donc les entiers, puisque 5 peut s’écrire 5/1, ainsi que les fractions positives, négatives ou nulles. Les nombres 3/4, -7/2 et 0 sont également rationnels.

Le lien avec l’écriture décimale

Dans le système décimal, un nombre rationnel possède une écriture qui s’arrête ou qui devient périodique. Ainsi, 3/4 = 0,75 est une écriture décimale finie, tandis que 1/3 = 0,333… présente une répétition indéfinie du chiffre 3. D’autres fractions ont une période plus longue, comme 1/7 = 0,142857142857… . Réciproquement, tout nombre dont l’écriture décimale est finie ou comporte un motif qui se répète à partir d’un certain rang est rationnel.

Les nombres irrationnels

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas être exprimé comme le quotient de deux entiers. Son écriture décimale ne s’arrête jamais et ne devient jamais périodique : elle comporte donc une infinité de chiffres sans motif répétitif régulier. Il ne s’agit pas nécessairement d’une suite de chiffres dépourvue de toute structure, mais aucune période ne se répète indéfiniment à partir d’un certain rang. Le nombre π et le nombre √2 sont deux exemples classiques d’irrationnels. π représente le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre, tandis que √2 est la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1.

Pourquoi √2 est-il irrationnel ?

Une démonstration classique montre que √2 ne peut pas être une fraction. Supposons au contraire que √2 = p/q, avec p et q des entiers et la fraction choisie sous forme irréductible. En élevant au carré, on obtient p² = 2q². Le nombre p² étant pair, p est pair ; on peut donc écrire p = 2k. En remplaçant p dans l’égalité, on constate alors que q² est pair, et donc que q est pair lui aussi. p et q seraient tous deux divisibles par 2, ce qui contredirait le choix d’une fraction irréductible. Il est donc impossible d’écrire √2 comme un quotient de deux entiers.

Deux catégories complémentaires

Tout nombre réel est soit rationnel, soit irrationnel : ces deux catégories ne se recouvrent pas et couvrent ensemble la droite réelle. Les rationnels ne sont toutefois pas les seuls nombres présents, même s’ils permettent de représenter exactement de nombreuses quantités utilisées dans les calculs. Entre deux nombres rationnels, on peut trouver des irrationnels, et inversement. La distinction ne dépend donc ni de la grandeur du nombre ni de la complexité de son écriture : un nombre rationnel peut être très grand ou très petit, tandis qu’un irrationnel peut être défini très simplement, comme √2, tout en ne pouvant pas être représenté par une fraction d’entiers.