Quel nombre complète cette série : 2, 6, 12, 20, 30, ?

La série 2, 6, 12, 20, 30, ? suit une règle arithmétique régulière fondée sur le rang de chaque terme. Pour déterminer le nombre manquant, il faut comparer chaque valeur à sa position dans la suite et repérer le produit de deux nombres entiers consécutifs.

Une règle fondée sur le rang

Si l’on note n le rang d’un terme, celui-ci est égal à n × (n + 1). Le premier terme correspond donc à 1 × 2 = 2, le deuxième à 2 × 3 = 6, le troisième à 3 × 4 = 12, le quatrième à 4 × 5 = 20 et le cinquième à 5 × 6 = 30. Le terme suivant occupe le sixième rang : il vaut donc 6 × 7, soit 42.

La vérification par les écarts

La même régularité apparaît en observant les différences entre deux termes successifs. On passe de 2 à 6 en ajoutant 4, puis de 6 à 12 en ajoutant 6, de 12 à 20 en ajoutant 8 et de 20 à 30 en ajoutant 10. Les écarts augmentent ainsi de 2 à chaque étape ; le prochain ajout est donc 12. En partant de 30, on obtient une nouvelle fois 30 + 12 = 42.

Une suite classique dans les exercices de logique

Ce type de série demande de relier la valeur d’un nombre à sa position plutôt que de chercher une opération identique appliquée uniquement au terme précédent. La règle peut aussi s’écrire n² + n, puisque n × (n + 1) = n² + n. Dans le cadre de l’exercice, ces deux écritures décrivent le même mécanisme et conduisent au nombre 42. Comme pour toute suite finie, plusieurs règles artificielles pourraient théoriquement être imaginées ; la réponse attendue repose ici sur la régularité simple et cohérente des produits d’entiers consécutifs.