Quel mathématicien a découvert le premier les nombres irrationnels ?

La découverte des nombres irrationnels remonte à la Grèce antique, dans le milieu des mathématiciens de l’école pythagoricienne, vers le Ve siècle avant notre ère. Elle a remis en cause l’idée selon laquelle toute grandeur pouvait être représentée par le rapport de deux nombres entiers. Il n’est toutefois pas possible d’attribuer cette découverte avec certitude à une seule personne. La tradition cite surtout Hippase de Métaponte, mais l’attribution historique demeure incertaine.

La diagonale du carré comme point de départ

Le cas le plus célèbre est celui de la diagonale d’un carré dont le côté mesure une unité. En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient que le carré de la longueur de cette diagonale vaut 2. Sa longueur est donc √2. Or cette quantité ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction composée de deux nombres entiers. La découverte ne concernait donc pas un nombre mystérieux au sens moderne, mais l’existence de grandeurs qui ne pouvaient pas être exprimées par les rapports numériques alors privilégiés par les pythagoriciens.

Une démonstration par l’absurde

L’irrationalité de √2 peut être établie par un raisonnement par l’absurde. Supposons que √2 soit égal à une fraction irréductible a/b, où a et b sont des entiers. En élevant au carré, on obtient a² = 2b². Le nombre a² étant pair, a est pair ; on peut donc écrire a = 2k. En remplaçant a dans l’égalité précédente, on constate alors que b², puis b, sont également pairs. Les deux termes de la fraction a/b seraient ainsi divisibles par 2, ce qui contredit le fait qu’elle soit irréductible. √2 ne peut donc pas être un rapport d’entiers.

Le rôle attribué à Hippase

Hippase de Métaponte est traditionnellement présenté comme celui qui aurait découvert ou révélé l’irrationalité de √2. Cette attribution ne repose cependant pas sur une documentation permettant d’établir avec certitude qu’il fut le premier auteur de la démonstration. La formulation historiquement la plus prudente consiste donc à attribuer la découverte aux mathématiciens grecs de l’école pythagoricienne, tout en mentionnant Hippase comme le nom associé par la tradition à cet épisode.

Une légende de révélation et de punition

Un récit ancien ou transmis par la tradition affirme qu’Hippase aurait divulgué cette découverte hors du cercle pythagoricien et aurait été puni pour cela. La nature exacte de cette punition et la réalité de l’épisode ne sont pas établies avec certitude. Cette légende souligne néanmoins le caractère déstabilisant de la découverte : elle montrait que la géométrie conduisait à des longueurs qui échappaient à l’écriture fractionnaire. Ainsi, à la question de savoir quel mathématicien a découvert le premier les nombres irrationnels, la réponse doit être nuancée : les premiers découvreurs furent les pythagoriciens, et Hippase est le mathématicien traditionnellement cité.