Quel est le théorème de Pythagore ?

Le théorème de Pythagore décrit une relation entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle, c’est-à-dire un triangle qui possède un angle droit. Dans ce type de triangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est aussi le côté le plus long. Le théorème affirme que le carré de cette hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si ces deux côtés, appelés les côtés de l’angle droit, mesurent a et b, et si l’hypoténuse mesure c, la relation s’écrit : a² + b² = c². Le nom du théorème est traditionnellement associé à Pythagore, mais des civilisations antérieures connaissaient déjà certaines relations numériques correspondant à des triangles rectangles.

Comprendre la formule

Dans l’égalité a² + b² = c², le symbole² signifie que l’on multiplie une longueur par elle-même. Il ne faut donc pas additionner directement les trois côtés : ce sont leurs carrés qui interviennent. Par exemple, si les deux côtés de l’angle droit mesurent 3 et 4 unités, on obtient 3² + 4² = 9 + 16 = 25. L’hypoténuse mesure alors 5 unités, puisque 5² = 25. Lorsque les deux côtés connus sont a et b, on peut calculer l’hypoténuse avec la formule c = √(a² + b²). Le théorème peut également servir à déterminer un côté de l’angle droit : si l’hypoténuse et l’autre côté sont connus, on utilise par exemple b = √(c² − a²). Dans tous les cas, il est indispensable d’identifier correctement l’angle droit et l’hypoténuse.

Une démonstration par les aires

Une démonstration géométrique classique repose sur la comparaison d’aires. On peut disposer quatre copies d’un même triangle rectangle dans un grand carré de côté a + b. Dans une première disposition, l’espace central forme un carré de côté c ; son aire est donc c². Dans une autre disposition, les mêmes quatre triangles laissent apparaître deux carrés, de côtés respectifs a et b, dont les aires sont a² et b². Comme les deux figures utilisent le même grand carré et les mêmes triangles, les aires restantes sont égales. On obtient ainsi c² = a² + b². Cette démonstration montre pourquoi la relation porte sur les carrés des longueurs et non sur les longueurs elles-mêmes. Elle constitue l’une des nombreuses preuves géométriques possibles du théorème.

Utiliser le théorème en géométrie

Le théorème de Pythagore permet de calculer une distance lorsqu’un triangle rectangle peut être identifié. Dans un repère, par exemple, la distance entre deux points se déduit des écarts horizontal et vertical, qui forment les deux côtés d’un triangle rectangle. La relation sert aussi à vérifier qu’un triangle est rectangle : dans un triangle dont le plus grand côté mesure c, si les deux autres côtés vérifient a² + b² = c², alors le triangle est rectangle. Cette propriété est appelée la réciproque du théorème de Pythagore. Le théorème intervient ainsi dans de nombreux problèmes de géométrie, de construction et de mesure, tandis que ses généralisations sont liées à l’étude des distances et à certains résultats de trigonométrie.