Quel est le premier nombre parfait connu dans l'histoire des mathématiques ?

Dans l’histoire documentée des mathématiques, le nombre parfait le plus anciennement connu est 6. Il est mentionné par Euclide vers 300 av. J.-C. dans ses Éléments, ouvrage majeur de la mathématique grecque. Cette découverte repose sur une propriété simple à énoncer, mais remarquable : un nombre parfait est égal à la somme de ses diviseurs propres, c’est-à-dire de ses diviseurs positifs autres que lui-même.

Pourquoi 6 est un nombre parfait

Les diviseurs propres de 6 sont 1, 2 et 3. Leur somme donne 1 + 2 + 3 = 6 : le nombre satisfait donc exactement la définition d’un nombre parfait. Cette propriété le distingue des nombres déficients, dont la somme des diviseurs propres est inférieure au nombre lui-même, et des nombres abondants, pour lesquels cette somme est supérieure. Le cas de 6 est particulièrement élémentaire, puisque ses diviseurs se répartissent en paires dont le produit vaut 6 : 1 et 6, 2 et 3. Le diviseur 6 lui-même est toutefois exclu de la somme.

La règle donnée par Euclide

Euclide ne s’est pas limité à mentionner l’exemple de 6. Dans les Éléments, il établit une méthode permettant de construire certains nombres parfaits. Si 2 exposant p moins 1 est un nombre premier, alors le nombre 2 exposant p moins 1, multiplié par 2 exposant p moins 1, est parfait. Sous une notation plus concise, cette expression s’écrit 2^(p−1) × (2^p − 1). Pour p = 2, on obtient 2^(2−1) × (2^2 − 1) = 2 × 3 = 6. La formule explique ainsi la place historique du premier exemple tout en fournissant un procédé général de construction.

Les nombres parfaits suivants

Après 6, les premiers nombres parfaits connus dans l’ordre croissant sont 28, 496 et 8128. Ils peuvent eux aussi être obtenus grâce à la règle précédente, en prenant successivement p = 3, p = 5 et p = 7. Le nombre 28 vérifie directement la définition : ses diviseurs propres sont 1, 2, 4, 7 et 14, et leur somme vaut 28. Pour 496, les diviseurs propres sont 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 et 248 ; leur somme est égale à 496. Ces exemples ont été établis bien après la mention antique de 6 et montrent que le premier nombre parfait connu s’insère dans une suite de constructions arithmétiques particulières.

Une propriété qui reste étudiée

Les nombres parfaits connus sont tous pairs et sont liés aux nombres premiers de Mersenne, de la forme 2^p − 1. La méthode d’Euclide garantit qu’un nombre obtenu à partir d’un tel nombre premier de Mersenne est parfait, mais elle ne fournit pas à elle seule une liste de tous les nombres parfaits possibles. La recherche moderne continue notamment d’examiner la structure de ces nombres et la question de l’existence éventuelle de nombres parfaits impairs. Malgré les développements ultérieurs, 6 demeure le premier exemple connu et le modèle le plus simple de cette notion arithmétique.