Quel est le plus grand nombre premier découvert à ce jour (2023) ?

En 2023, le plus grand nombre premier connu est 2^82 589 933 − 1. Il comporte 24 862 048 chiffres en écriture décimale, ce qui le rend impossible à examiner directement comme un nombre ordinaire. Ce record ne signifie pas qu’il existe un plus grand nombre premier absolu : les nombres premiers sont en nombre infini. Il désigne le plus grand nombre premier découvert et vérifié jusqu’à cette date, selon le nombre de chiffres et donc la valeur numérique du nombre.

Un nombre premier de Mersenne

Ce record appartient à la famille des nombres premiers de Mersenne. Ceux-ci s’écrivent sous la forme 2^p − 1, où p est un nombre premier. La primalité de p est une condition nécessaire : si l’exposant était composé, l’expression pourrait être factorisée. En revanche, un exposant premier ne garantit pas que 2^p − 1 soit lui-même premier. Chaque valeur de p doit donc faire l’objet d’une vérification spécifique. Ces nombres portent le nom du religieux et mathématicien français Marin Mersenne, qui s’est intéressé à cette forme au XVIIe siècle.

Le rôle du projet GIMPS

Le nombre 2^82 589 933 − 1 a été découvert en décembre 2018 dans le cadre du Great Internet Mersenne Prime Search, plus couramment appelé GIMPS. Ce projet de calcul distribué, lancé en 1996, répartit les recherches entre de nombreux ordinateurs reliés par Internet. Les machines testent différents exposants et recherchent ceux pour lesquels le nombre de Mersenne correspondant pourrait être premier. Cette organisation permet de combiner des ressources informatiques dispersées, tandis que des tests de primalité adaptés à la forme 2^p − 1 servent à vérifier les candidats.

Un record mesuré en millions de chiffres

Avec ses 24 862 048 chiffres, ce nombre dépasse très largement les précédents nombres premiers connus de taille courante. Sa notation abrégée, 2^82 589 933 − 1, est donc beaucoup plus pratique que son écriture complète, qui remplirait des milliers de pages. La difficulté ne consiste pas seulement à produire une longue suite de chiffres : il faut aussi démontrer que le nombre ne possède aucun diviseur autre que 1 et lui-même. Pour les nombres de Mersenne, leur structure particulière permet d’employer des méthodes de test spécialisées, adaptées aux calculs sur des nombres extrêmement grands.

Une portée surtout mathématique

La découverte de ce record illustre les progrès des algorithmes, du calcul distribué et de la vérification numérique. Elle ne signifie toutefois pas que ce nombre soit directement utilisé dans les systèmes de chiffrement courants. Le RSA, par exemple, repose sur la difficulté de factoriser certains grands nombres, mais n’utilise pas spécifiquement ce nombre premier de Mersenne. Les recherches menées par GIMPS ont avant tout un intérêt en théorie des nombres et dans l’informatique mathématique : elles permettent d’explorer une famille rare de nombres premiers et de repousser les limites pratiques du calcul exact.