Quel est le plus grand nombre premier connu en 2024 ?
La réponse
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En 2024, le plus grand nombre premier connu est un nombre premier de Mersenne : 2^82 589 933 − 1. Son écriture décimale comporte plus de 24 millions de chiffres, ce qui le rend impossible à examiner directement comme un nombre ordinaire. Ce record ne signifie pas qu’il existe un plus grand nombre premier en valeur absolue : les nombres premiers sont en quantité infinie. Il désigne le plus grand nombre premier découvert et vérifié à cette date.
Une forme adaptée à la recherche
Les nombres premiers de Mersenne sont construits selon la forme 2^p − 1, où p est un entier premier. L’exposant 82 589 933 est lui-même premier, condition nécessaire pour que l’expression puisse être un nombre premier. Elle n’est toutefois pas suffisante : certains nombres de la forme 2^p − 1, même lorsque p est premier, possèdent des diviseurs et sont donc composés. Cette structure particulière permet néanmoins d’utiliser des méthodes spécialisées, notamment le test de Lucas-Lehmer, conçu pour vérifier efficacement la primalité des nombres de Mersenne.
La découverte par le projet GIMPS
Le nombre 2^82 589 933 − 1 a été découvert en décembre 2018 dans le cadre de GIMPS, acronyme de Great Internet Mersenne Prime Search. Lancé en 1996, ce projet repose sur le calcul distribué : des participants mettent à disposition des ordinateurs qui exécutent une partie des recherches et des vérifications. Le travail est ainsi réparti entre de nombreuses machines, ce qui permet d’explorer des exposants très élevés et de tester la primalité de candidats qui seraient hors de portée d’un calcul effectué sur un seul ordinateur.
Un record de taille exceptionnel
Avec plus de 24 millions de chiffres, ce nombre premier dépasse très largement les nombres utilisés dans les calculs courants. Sa taille concerne toutefois son écriture décimale, et non la quantité d’informations nécessaire pour le définir : la formule 2^82 589 933 − 1 le décrit de manière extrêmement compacte. La découverte illustre donc à la fois les propriétés remarquables des nombres de Mersenne et les progrès des méthodes de calcul distribué. Elle ne fournit pas une nouvelle règle permettant de trouver tous les nombres premiers, mais établit un record parmi ceux qui ont effectivement été découverts et vérifiés.
Un intérêt surtout mathématique et informatique
La recherche menée par GIMPS est avant tout consacrée à l’étude des nombres premiers et à la mise au point de techniques de calcul fiables à très grande échelle. Les nombres premiers de Mersenne sont particulièrement pratiques pour ce type de recherche en raison de leur forme régulière et des tests de primalité qui leur sont consacrés. Il serait en revanche trompeur de présenter ce nombre géant comme un nombre directement utilisé dans les systèmes cryptographiques courants : les nombres premiers employés en cryptographie sont choisis selon d’autres contraintes et ne sont généralement pas de cette taille. Le record de 2^82 589 933 − 1 reste donc principalement une réalisation de théorie des nombres et de calcul distribué.
