Quel est le nombre d'or et comment est-il calculé ?

Le nombre d’or est une constante mathématique irrationnelle, généralement notée φ, dont la valeur approchée est 1,6180339887. Il correspond à une proportion particulière entre deux longueurs : la longueur totale est à la plus grande partie ce que la plus grande partie est à la plus petite. Cette relation, simple à énoncer, explique à la fois son importance en géométrie et les liens qu’on lui associe avec certaines formes naturelles, ainsi que son emploi dans des réalisations artistiques et architecturales.

Le calcul par une équation

Pour obtenir le nombre d’or, on considère deux longueurs dont le rapport vaut φ et qui vérifient la relation suivante : la longueur totale est égale à la somme de la plus grande partie et de la plus petite. En posant le rapport entre la grande partie et la petite partie égal à x, on arrive à l’équation x² = x + 1. On la réécrit sous la forme x² − x − 1 = 0. La résolution de cette équation du second degré donne deux solutions : (1 + √5) / 2 et (1 − √5) / 2. Comme le nombre d’or désigne la solution positive, on retient donc φ = (1 + √5) / 2, soit environ 1,6180339887. L’autre solution est négative et ne représente pas le rapport entre deux longueurs positives.

Une constante liée à la géométrie

Le nombre d’or possède plusieurs propriétés qui découlent directement de son équation. En divisant l’égalité φ² = φ + 1 par φ, on obtient φ = 1 + 1/φ. Il s’ensuit que son inverse vaut environ 0,6180339887, c’est-à-dire φ − 1. Le nombre d’or intervient également dans certaines constructions géométriques, notamment le pentagone régulier et le pentagramme, où plusieurs rapports de longueurs sont égaux à φ. Il est aussi lié à la suite de Fibonacci : lorsque l’on divise un terme par le précédent, les rapports obtenus se rapprochent de plus en plus de φ à mesure que les termes de la suite augmentent.

Des formes naturelles aux usages artistiques

Des rapports liés au nombre d’or peuvent être observés dans certains phénomènes naturels. En botanique, la disposition de feuilles, de graines ou d’autres éléments autour d’un axe peut faire intervenir un angle appelé angle d’or, associé à une fraction de tour construite à partir de φ. Cette organisation peut favoriser une répartition efficace des éléments, mais elle ne signifie pas que toutes les plantes suivent exactement cette proportion. De même, certaines spirales naturelles, notamment dans des coquilles ou des organisations végétales, peuvent présenter des rapports proches de ceux associés au nombre d’or. Dans l’art et l’architecture, φ sert de référence pour construire des rectangles, répartir des surfaces ou organiser une composition. Son utilisation peut contribuer à une structure visuelle recherchée, mais elle ne constitue ni une règle obligatoire ni une explication universelle de la beauté, et l’attribution systématique du nombre d’or à des œuvres anciennes doit être considérée avec prudence.

Une proportion, pas une mesure magique

Le nombre d’or est donc avant tout une constante définie avec précision par l’équation x² = x + 1. Sa présence dans certaines constructions mathématiques et dans certains modèles naturels est bien établie, tandis que son rôle dans l’art, l’architecture ou les proportions du corps humain a parfois été exagéré. La valeur 1,6180339887 n’est pas une approximation choisie arbitrairement : elle provient de la formule exacte (1 + √5) / 2. C’est cette combinaison d’une définition algébrique simple, de propriétés géométriques remarquables et d’applications possibles qui explique la fascination durable exercée par le nombre d’or.