Quel célèbre mathématicien grec est associé à la légende du nombre Pi ?

Archimède de Syracuse est la figure de l’Antiquité la plus étroitement associée à l’histoire du nombre π. Mathématicien, physicien et ingénieur grec du IIIe siècle av. J.-C., il n’a pas utilisé le symbole π, apparu bien plus tard, mais il a étudié avec une grande précision le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Son travail constitue l’une des premières déterminations rigoureuses d’une approximation de cette constante.

L’encadrement par les polygones

Dans son traité De la mesure du cercle, Archimède met au point une méthode géométrique fondée sur des polygones réguliers. Il considère d’abord un polygone inscrit dans le cercle, puis un polygone circonscrit, c’est-à-dire placé autour de lui. En doublant progressivement le nombre de côtés, il resserre l’écart entre les périmètres des deux figures et la circonférence réelle du cercle. Son raisonnement va jusqu’à des polygones de 96 côtés. Comme la circonférence est comprise entre les périmètres du polygone inscrit et du polygone circonscrit, le rapport entre la circonférence et le diamètre est lui aussi encadré. Archimède obtient ainsi l’inégalité 223/71 < π < 22/7, soit approximativement 3,1408 < π < 3,1429.

Une approximation, pas une valeur exacte

La force de cette démarche tient moins à la simple obtention de quelques décimales qu’à la démonstration qui l’accompagne. Archimède ne prétend pas déterminer exactement un nombre dont l’écriture décimale est illimitée : il établit deux bornes entre lesquelles se trouve le rapport recherché. Cette technique appartient à ce que l’on appelle la méthode d’exhaustion, une approche géométrique permettant d’approcher une longueur ou une aire avec une précision croissante. Elle rappelle certains principes qui seront liés beaucoup plus tard à la notion de limite, sans constituer pour autant un calcul différentiel au sens moderne.

La place de π dans l’œuvre d’Archimède

Le nombre π n’apparaît pas dans les textes d’Archimède sous sa notation actuelle. Son étude porte plutôt sur les propriétés du cercle et sur les relations entre ses dimensions. Il montre notamment que l’aire d’un cercle est égale à celle d’un triangle dont la base a la même longueur que la circonférence et dont la hauteur correspond au rayon. Cette relation s’écrit aujourd’hui A = πr², mais Archimède la formule dans le langage de la géométrie antique. Son travail a ensuite été dépassé par des approximations plus précises obtenues dans différentes traditions mathématiques, mais l’encadrement entre 223/71 et 22/7 demeure l’un des résultats les plus célèbres de l’histoire de π. C’est cette combinaison entre une construction géométrique ingénieuse et une preuve rigoureuse qui explique la place d’Archimède dans la légende de ce nombre.