Comment vérifier rapidement si une suite de nombres suit une progression arithmétique ?

Une progression arithmétique est une suite dans laquelle on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre. Ce nombre constant est appelé la raison. Pour vérifier rapidement cette propriété, il suffit donc d’examiner les écarts entre les termes consécutifs, sans avoir besoin d’une formule complexe ni d’un outil particulier.

Comparer les écarts successifs

On soustrait chaque terme du terme qui le suit : deuxième moins premier, troisième moins deuxième, et ainsi de suite. Si toutes les différences obtenues sont identiques, la suite est arithmétique. Dans la suite 3, 7, 11, 15, on calcule 7 − 3 = 4, 11 − 7 = 4 et 15 − 11 = 4. Les écarts étant tous égaux à 4, la suite suit une progression arithmétique de raison 4. Pour une suite comportant n termes, il faut effectuer n − 1 soustractions et vérifier qu’elles donnent toutes le même résultat.

Ne vérifier qu’une partie ne suffit pas

La comparaison doit porter sur tous les couples de termes consécutifs. Par exemple, dans la suite 2, 5, 8, 11, 14, 18, les cinq premiers termes présentent des écarts de 3, mais le dernier écart vaut 18 − 14 = 4. La suite entière n’est donc pas arithmétique. De même, une suite peut sembler régulière au début puis comporter une rupture plus loin. Une vérification rapide est fiable seulement si aucun écart n’est oublié.

Les suites décroissantes sont aussi concernées

La raison n’a pas besoin d’être positive. Dans 10, 7, 4, 1, les différences successives valent toutes −3 : la suite est donc arithmétique, mais décroissante. Une raison nulle correspond à une suite constante, comme 6, 6, 6, 6. Ces cas montrent qu’il faut conserver le signe des soustractions au lieu de comparer uniquement la taille des écarts.

Attention au nombre de termes et aux autres régularités

Avec deux termes, on peut calculer une différence, mais on ne peut pas vérifier qu’elle se répète : il faut au moins trois termes pour comparer deux écarts et effectuer un véritable contrôle de régularité. Toutefois, lorsqu’une suite comporte davantage de termes, l’égalité des deux premiers écarts ne suffit pas ; tous les suivants doivent également être identiques. Il ne faut pas non plus confondre une différence constante avec un rapport constant. Dans 2, 4, 8, 16, les rapports sont égaux à 2, tandis que les différences sont 2, 4 puis 8 : cette suite n’est pas arithmétique. La règle à retenir est donc simple : calculer chaque différence entre deux termes consécutifs, puis vérifier qu’elles ont toutes la même valeur.