Comment fonctionne le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle ?

Le théorème de Pythagore décrit une relation précise entre les trois côtés d’un triangle rectangle. Il permet notamment de trouver la longueur d’un côté lorsque les deux autres sont connues. Son principe repose sur les carrés construits sur les côtés du triangle : l’aire du carré formé sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés formés sur les deux côtés qui délimitent l’angle droit.

Identifier les trois côtés

Dans un triangle rectangle, les deux côtés qui forment l’angle droit sont appelés les côtés de l’angle droit, ou cathètes. Le troisième côté, placé en face de l’angle droit, est l’hypoténuse. C’est toujours le côté le plus long du triangle. Si l’on note a et b les longueurs des côtés de l’angle droit et c la longueur de l’hypoténuse, le théorème s’écrit : a² + b² = c². Le symbole « ² » signifie que la longueur est multipliée par elle-même. Les termes a², b² et c² représentent donc les aires de carrés dont les côtés mesurent respectivement a, b et c unités.

Utiliser la formule

Pour appliquer le théorème, il faut d’abord vérifier que le triangle est bien rectangle et repérer son hypoténuse. Lorsque les deux côtés de l’angle droit sont connus, on additionne leurs carrés, puis on prend la racine carrée du résultat pour obtenir l’hypoténuse : c = √(a² + b²). Par exemple, si a mesure 3 cm et b mesure 4 cm, alors 3² + 4² = 9 + 16 = 25. On obtient donc c = √25 = 5 cm. Le triangle possède ainsi des côtés de longueurs 3 cm, 4 cm et 5 cm.

Calculer un côté inconnu

La même relation permet de déterminer l’un des côtés de l’angle droit lorsque l’hypoténuse et l’autre côté sont connus. Il suffit de réorganiser l’égalité. Pour calculer a, on utilise a = √(c² − b²), et pour calculer b, on utilise b = √(c² − a²). Par exemple, si l’hypoténuse mesure 13 m et qu’un autre côté mesure 5 m, le côté restant vaut √(13² − 5²), soit √(169 − 25) = √144 = 12 m. Dans un calcul, les longueurs doivent être exprimées dans la même unité, et le résultat conserve cette unité, tandis que les carrés intermédiaires sont exprimés en unités carrées.

Une relation utile pour vérifier un triangle

La réciproque du théorème fournit aussi un moyen de reconnaître un triangle rectangle. Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et l’angle droit se trouve en face de ce plus grand côté. Ainsi, pour des côtés de longueurs 6, 8 et 10, on vérifie que 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² : le triangle est donc rectangle, avec le côté de longueur 10 comme hypoténuse. Cette propriété intervient aussi dans le calcul de distances, par exemple pour mesurer la diagonale d’un rectangle ou la distance directe entre deux points connaissant leurs écarts horizontal et vertical.