Comment calculer mentalement le carré d'un nombre se terminant par 5 ?

Pour calculer rapidement le carré d’un nombre entier se terminant par 5, il existe une règle simple qui évite de poser une multiplication complète. Il faut regarder le nombre formé par tous les chiffres précédant le 5, le multiplier par l’entier qui le suit immédiatement, puis placer 25 à la droite du résultat. Ainsi, pour 35, on prend 3, on calcule 3 × 4 = 12, puis on écrit 25 à la suite : 35² = 1225.

Une règle fondée sur la structure du nombre

Tout nombre entier se terminant par 5 peut s’écrire 10n + 5, où n désigne la partie située avant le dernier chiffre 5. En développant son carré, on obtient (10n + 5)² = 100n² + 100n + 25, soit 100n(n + 1) + 25. Le produit n(n + 1) constitue donc la partie située avant les deux derniers chiffres 25. La règle de calcul mental consiste exactement à effectuer ce produit, puis à ajouter 25 à la fin du résultat. Cette identité algébrique explique pourquoi la méthode ne dépend pas d’un exemple particulier.

Des exemples avec différents nombres

Avec 75, la partie précédant le 5 est 7. On calcule 7 × 8 = 56, puis on place 25 à droite : 75² = 5625. Pour 125, on utilise 12 : 12 × 13 = 156, ce qui donne 125² = 15625. La même procédure fonctionne avec 205 : 20 × 21 = 420, puis 25, d’où 205² = 42025. Elle s’applique donc aussi bien aux nombres à deux chiffres qu’aux nombres comportant davantage de chiffres. Le cas de 5 lui-même correspond à n = 0 : 0 × 1 = 0, et l’on obtient bien 5² = 25.

Comment appliquer la méthode sans se tromper

La difficulté principale consiste à bien isoler la partie située avant le 5 et à comprendre que « ajouter 25 à la fin » signifie placer les chiffres 25 après le produit obtenu. Pour 315, il ne faut pas calculer 3 × 4, mais 31 × 32 = 992 ; le résultat est donc 99225. Cette astuce concerne les nombres entiers dont le dernier chiffre est 5. Elle ne remplace pas une méthode générale pour les nombres qui ne se terminent pas par 5, mais, dans son domaine d’application, elle fournit directement le carré en deux opérations mentales simples.