Comment additionner rapidement des nombres consécutifs comme 1 + 2 + 3 + ... + 10 ?

Pour additionner rapidement les nombres entiers consécutifs de 1 à n, il suffit d’utiliser la formule n × (n + 1) / 2. Dans le cas de 1 + 2 + 3 + ... + 10, on obtient 10 × 11 / 2, soit 55. Cette méthode évite d’effectuer chaque addition séparément et fournit un moyen simple de vérifier rapidement un total.

Le principe des regroupements

Pour comprendre le calcul, on peut associer les nombres situés aux deux extrémités de la suite. Dans la somme de 1 à 10, 1 + 10 = 11, 2 + 9 = 11, 3 + 8 = 11, 4 + 7 = 11 et 5 + 6 = 11. Il y a donc cinq paires de somme 11, ce qui donne 5 × 11 = 55. Cette idée de regroupement est généralement attribuée au mathématicien Carl Friedrich Gauss et constitue une façon particulièrement intuitive de présenter la formule.

Pourquoi la formule est générale

Le raisonnement fonctionne pour toute suite allant de 1 à n. Si l’on écrit la somme une première fois dans l’ordre croissant, puis une seconde fois dans l’ordre décroissant, chaque colonne donne n + 1 : 1 + n, 2 + (n − 1), et ainsi de suite. Comme il y a n colonnes, les deux sommes réunies valent n × (n + 1). Une seule somme vaut donc n × (n + 1) / 2. Cette démonstration reste valable lorsque n est impair : dans ce cas, un terme central existe, mais il est correctement pris en compte par l’écriture des deux sommes.

Étendre la méthode

La même logique s’applique à une suite commençant par un nombre différent de 1. Pour additionner tous les entiers de a à b, on peut utiliser la formule (b − a + 1) × (a + b) / 2 : le premier facteur compte le nombre de termes et le second correspond à la somme du premier et du dernier. Ainsi, la formule de 1 à n est un cas particulier d’une méthode plus générale, utile pour effectuer mentalement des calculs, contrôler des totaux ou expliquer aux enfants la régularité des nombres consécutifs.